- Структура (математика)
-
Под структурой в математике понимают несколько довольно общих определений:
- Математическая структура, или просто структура — родовое название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам неопределённой природы. Для определения структуры, задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств, то есть задают так называемую ти́повую характеристику. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким наперёд заданным условиям — аксиомам структуры. В результате структура считается заданой и на её основе можно строить разнообразные теории.
- В теории множеств синонимом термина «структура» является термин «решётка».
- В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия M. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки x многообразия M, но и от выбора корепepa, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке x (см. также Карта).
Содержание
Формальное определение структуры на многообразии
Для формального определения структур на многообразии рассмотрим GLk(n) — общую дифференциальную группу порядка k (группу k-струй в нуле преобразований пространства , сохраняющих начало координат), Mk — многообразие кореперов порядка k n-мерного многообразия M (то есть многообразие k-струй локальных карт с началом в точке x = u − 1(0)).
Группа GLk(n) действует слева на многообразии Mk по формуле
Это действие определяет в Mk структуру главного GLk(n)-расслоения , называемого расслоением кореперов порядка k.
Пусть теперь W — произвольное GLk(n)-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы GLk(n), a W(M) — пространство орбит левого действия группы GLk(n) в . Расслоение , являющееся естественной проекцией пространства орбит на M и ассоциированное как с W, так и с Mk, называется расслоением геометрических структур типа W порядка не больше k, а его сечения — структурами типа W. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GLk(n)-зквивариантными отображениями .
Таким образом, структуры типа W можно рассматривать как W-значную функцию S на многообразии Mk k-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:
Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия M действует как группа автоморфизмов πW.
Если W есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GLk(n), то структуры типа W называются линейными (соответственно аффинными).
Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть , и — пространство тензоров типа с естественным тензорным представлением группы GL1(n) = GL(n). Структура типа называется тензорным полем типа . Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов M1, сопоставляющую кореперу набор координат тензора относительно стандартного базиса
пространства . При линейном преобразовании коронера координаты преобразуются по тензорному представлению:
Важнейшими примерами тензорных структур являются:
- векторное поле;
- дифференциальная форма;
- риманова метрика;
- симплектическая структура;
- комплексная структура;
- аффинор.
Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского[1].
Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа , где — ядро естественного гомоморфизма , которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы .
Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или G-структур. Их можно определить как структуры типа W, где W = GLk(n) / G — однородное пространство группы GLk(n).
Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие G-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на G-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.
Литература
- Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
- Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
- Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
- Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
- Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.
См. также
- G-структура
- -структура
- Ck-структура
- pl-структура
- Γ-структура
- Контактная структура
- Почти комплексная структура
- Алгебраическая структура
- Топологическая структура
- Структура Ходжа
- Математическая структура
Примечания
- ↑ Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.
Wikimedia Foundation. 2010.